数量关系
本文最后更新于:2020年12月11日 下午
数量关系:主要测查应试人员理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力,涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。常见的题型有:数字推理、数学运算等。
一: 几大特性(代入排除、数字特性、方程法等)
1.1 代入排除
- 使用范围
- 典型题: 年龄、余数、不定方程、多位数
- 看选项: 选项为一组数或可转化为一组数
- 剩两项: 只剩两项时,代入一项即可得答案
- 超复杂: 题干长、主体多、关系乱
- 方法
- 先排除: 尾数法、奇偶、倍数
- 再代入: 最值、好算
1.2 奇偶特性
- 使用范围
- 知和求差、知差求和
- 不定方程–一般优先考虑奇偶性
- A是B的2倍,将A分成两份。 A为偶数
- 质数: 逢质必2
- 方法
- 和差: 同奇同偶则为偶,一奇一偶则为奇
- 积: 一偶则偶,全奇为奇。
1.3 倍数特性
- 使用范围
- 分数、百分数、比例、倍数
- 物品平均分配
- 方法
- $\frac{A}{B} = \frac{m}{n} $
- $若\frac{A}{B} = \frac{m}{n} ,则\frac{A}{B} = \frac{m}{n}=\frac{A\pm m }{B\pm n} $
- 整除判定
- 拆分(普遍适用)
- 看是否A的倍数,将A拆分为A的整数倍的一个数字a±一个小的数字b,若b也能被A整除,则原数能被A整除。
- 口诀
- 3/9,各位之和能被3或9整除,则是倍数
- 4(末2位)/8(末3位),能被4/8整除,则是倍数
- 2(偶数)/5(0,5)
- 7: 一个数个位截掉,余下的数减个位数的2倍,若差是7的倍数,能被7整除。
- 因式分解(复杂倍数用)
- 将一个数分解为互质的两个数。
- 如: 判断能否被45整除,只要判断它是9和5的倍数即可
- 拆分(普遍适用)
- $\frac{A}{B} = \frac{m}{n} $
1.4 方程法
- 普通方程
- 设未知数
- 设小不设大(避免分数)
- 最大信息化(方便列式),即设中间量
- 设谁求谁(避免陷阱)
- 列方程
- 共、是、比、相等
- 解方程
- 约分: 如3600=400x+800y
- 消元: 求谁留谁
- 设未知数
- 不定方程
- 奇偶特性: a、b系数一奇一偶
- 倍数特性: a、b系数与常数有公因子
- $9x + 7y = 81$
- $9n/9(m-n)/9m$
- 尾数特性: a、b系数尾数为5或0
- 代入排除: 无法运用上述特性
- 赋零法
- 范围: ①未知数可以非整数②求算式而非单一未知数
- 方法: 设某个未知数为零,再求其他未知数
1.5 乘方尾数
口诀:底数留个位,指数除4留余数,余数为0转为4.
例:$2008^{2008}+2009^{2009}$的个位数是?
答: $2008 \bmod 4=0,则可转化为8^{4}+9^{1},8×8=64,4×8=32,2×8=16,6+9=15,个位数是5$
1.6 数列(等差、等比)
1.6.1 等差数列
公差用字母$d$表示,等差数列的通项公式为:
$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$
求和公式为:
$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}2d=平均数×项数=中位数×项数$
1.6.2 等比数列
通项公式: $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=a_{m}q^{n-m}$
求和公式: $S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$
等比中项: 如果a,b,c成等比数列,则b叫做a与c的等比中项,有:$b^{2}=ac$。
二: 几大题型
2.1 数字推理
- 基础数列
- 等差、等比
- 质数数列
- 平方立方数列
- 周期数列
- 简单递推数列
- 多重数列
- 特征: 项数≥7项
- 方法: 先交叉(22交叉,奇偶交叉,三三分)再分组
- 分数数列
- 约分
- 先分开看,再一起看,观察趋势
- 做商数列
- 幂次数列
- $64=8^{2} =2^{6};81=9^{2}=3^{4}$
- 多级数列
- 递推数列
- 两两做和
2.2 容斥原理
- 公式
- $A+B-A\cap B=总数-都不$
- $A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C=总数-都不$
- $A+B+C-只满足两个-只满足三个×2=总数-都不$
- $A+B+C=只满足一个+只满足两个×2+满足三个×3$
- $只2=A\cap B+B\cap C+A\cap C-3×只3$
- 画图
- 画圈圈,标数据,去重复
- 交叉部分重点标注
2.3 工程问题
- 赋值总量型
- 识别: 题干只给了多个完工时间
- 方法: 赋值总量–算出效率–列式求解
- 技巧: 总量一般设公倍(用短除法求最小公倍数和最大公约数),公倍难算用乘积
- 赋值效率型
- 识别: 题干给出了效率比、效率倍数等
- 方法: 赋值效率–求出总量–列式求解
- 技巧: 按照比例设效率,设值尽量设整数
- 给具体值型
- 识别: 题干有效率、总量的具体值(设小不设大,设中间量)
- 方法: 代公式–列方程求解(方程往往有整除、倍数关系)
2.4 经济利润问题
- 基础公式
- $利润=售价-成本$
- $利润率=利润÷成本;售价=成本×(1+利润率)$
- 分段计算
- 水电费、出租车费、税费等
- 每段费用分别计算,求和后为总费用
- 合并付费
- 先分开买,再合并买,问省了多少钱?
- 答: $便宜的那件商品的原价×折扣差$
2.5 概率
- 概率=满足所有的情况数÷所有的情况数
- 分类用加法,分步用乘法
- 正难反易: $1-反面情况概率$
2.6 排列组合
- 概念
- 分类用加法(要么……要么……)
- 分步用乘法(先……再……)
- 有序用排列$A_{n}^{m} $(不可互换)
- 无序用组合$C_{n}^{m} $(可以互换)
- $C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}$
- 题型
- 相邻
- 捆绑法: 先捆再排
- 把相邻的元素捆绑起来,注意內部有无顺序
- 不相邻
- 插空法: 先插再排
- ①先安排可以相邻的元素,形成若干空位;②再将不相邻的元素插入空位中
- 凑数字
- 枚举法: 按序枚举
- 插板法
- 将N个相同元素分给M个人,每人至少一个,共有$C_{n-1}^{m-1} $种情况
- 错位排列(不回原位)
- 个数:$1、2、3、4、5、6$
- N种:$0、1、2、9、44、265$
- 相邻
2.7 植树问题
所谓植树问题就是要理清间隔数量与端点之间的关系。
- 两端栽树,棵树比段数多1,棵树=线路总长÷株距+1;
- 一端栽树,棵树与段数相等,棵树=线路总长÷株距;
- 两端都不栽树,棵树=段数-1,棵树=线路总长÷株距-1;
- 两边植树需要在1条路的基础上乘以2;
- 封闭型植树,棵树=线路总长÷株距=总段数;
- 类似于“两端不植树”的还有“上楼梯问题”、“锯木头、剪绳子”、“站成一列”问题,上到N楼用M分钟,则上每层楼用M/(N-1)分钟,其余同理。
PS:剪绳问题公式: $2^{N}×M+1(一根绳子连续对折N次,剪M刀,问绳子被剪成几段?)$
2.8 鸡兔同笼
核心公式:
- 鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
- 兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)
问:已知鸡兔同笼,共35只,脚共94只,求鸡和兔的个数。
答:方程法略。假设法:假设35只都是鸡,则有脚35×2=70只,每一只鸡换成兔就多2只脚。故共有兔子12只,鸡23只。
**总结: 先假设全部是某一种,然后求出的值与实际值的差值除以他们单个的差值,得出来的是另一种。(假设鸡得出兔,假设兔得出鸡)**。
2.9 牛吃草问题
2.10 过河问题和空瓶换水
一条船只能运送N人,现在M个人过河,问几次过完? 答:共需$\frac{M-1}{N-1} $次。
N个空瓶换一瓶水,已有M个空瓶,问可以换几瓶水? 答: $\frac{M}{N-1}(舍弃小数取整) $个
2.11 日期、年龄问题
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